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前言

01

力學(Mechanics)---研究物質機械運動規律的科學，是物理學的一個重要分支學科。根據自然界物質有多種層次(宇觀的宇宙體系、宏觀的天體和常規物體、細觀的顆粒/纖維/晶體、微觀的分子/原子/基本粒子)演變出眾多的力學分支。其中，彈性波及彈性波理論就是這眾多分支中的一員。然而，被大家廣為熟知的聲表面波、體聲波等都屬于彈性波的范疇，所以在開始本文介紹前，讓我們一起來回顧下彈性波的基本概念和發展歷程(由于受篇幅及筆者能力限制，此文只進行簡要的追溯)。

彈性波是一種在彈性介質(如固體、液體或某些氣體)中傳播的機械波，由于介質內各質點間存在彈性力的相互作用，當介質局部受到擾動使質點偏離平衡位置時，彈性力會使質點恢復平衡，并帶動附近質點振動，從而形成波。通常，在流體(液體、氣體)中，彈性波主要表現為縱波(L波，偏振方向與傳播方向一致)，即為通常意義上的“聲波”；在固體中彈性波可以同時存在縱波和橫波(S波，偏振方向垂直于傳播方向)。 

彈性波及彈性波的發展歷程

02

彈性波的概念是如何形成的呢？彈性波概念的提出并非由單一科學家完成，而是經過眾多物理學家、數學家在力學和波動理論上的積累與突破逐漸形成的。概括地說：彈性波理論的發展史是從經驗直覺到現代科學的跨越。

1．萌芽期：彈性思想的樸素認識

公元前5世紀-17世紀是彈性思想的樸素認知時期，是先哲們利用經驗觀察和經典實驗來描繪彈性的雛形概念。

公元前4世紀，也就是亞里士多德時代，先哲們通過猜想提出了聲音是空氣振動產生的波動現象(如圖1所示)，但是并未將聲音與彈性波聯系起來，但是提出了一個很重要的概念：空氣是聲音傳播的介質，并推測如果沒有介質，聲音就不會傳播，即在真空中無法傳播。

中國東漢時期的科學家張衡創造的傳世杰作-地動儀(初造時間不詳，大約公元115-121年間，復造于漢順帝陽嘉元年(公元132年))，利用慣性原理檢測地震波的方向，這是人類歷史上首次通過機械裝置感知彈性波波的傳播。

圖1 不同的聲波波形

圖2 (a)張衡畫像                                                       圖2 (b)地動儀

公元500年左右(我國南北朝時期)，人們才開始將聲音的運動與波的運動聯系起來。羅馬哲學家阿尼修斯·馬尼利烏斯·塞韋里努斯·波伊修斯（Anicius Manilius Severinus Boethius）將聲音通過空氣的傳播與向平靜的水中投擲小石子產生的波進行了比較，發現二者有著很多相似之處。由此揭開了機械波作為一大類自然現象研究的序幕。

時間來到公元14世紀，歐洲進入文藝復興時期。人文主義精神崛起，人們開始懷疑傳統權威，這種懷疑精神促使科學家重新審視自然規律，不再盲目接受宗教對世界的解釋，逐漸將自然現象的解釋由原來局限于神學的范疇引向了科學的范疇，極大地推動了思想解放與科技進步(為科學作出了巨大貢獻的同時也造成了嚴重的殖民傷害，當然這部分應該是歷史學家審視的問題，此文不再班門弄斧)。接下來，三位大佬相繼登場。

首先登場的是意大利物理學家伽利略·伽利雷(Galileo di Vincenzo Bonaulti de Galilei, 1564.2.15-1642.1.8)，17世紀初伽利略提出了共振實驗(著名的單擺實驗)，在對單擺運動的研究中發現：給單擺施加周期性的同相位的推動，能夠保持甚至逐漸增大單擺的振幅。使得他意識到聲學共振現象產生的機制，并對兩根弦發生共振的現象進行解釋，并通過一系列實驗證實了聲音實際上是一種機械振動，從而開啟了聲學的系統研究。對于聲學的研究記載于《關于兩門新科學的對話》一書中。

圖3 (a)伽利略                                                    圖3 (b)單擺實驗裝置

第二位為彈性力學領域做出巨大貢獻的大佬，那就是英國科學家羅伯特·胡克(Robert Hooke，1635.7.18-1703.3.3)。他在1678年通過彈簧實驗總結出了“力與形變成正比”的規律(ut tensio sic vis (拉丁語，意為“力如伸長”)，F=-kx)，這就是大名鼎鼎的胡克定律，這為后來的彈性力學的發展奠定了基礎，但尚未涉及波動傳播的數學描述。后來，科學家們為研究固體介質中的彈性性質拓展了胡克定律，形成了廣義胡克定律。

圖4 (a) 羅伯特·胡克                                 圖4 (b)胡克定律實驗

第三位，艾薩克·牛頓(Isaac Newton，1643-1727)爵士于1687年出版了《自然哲學的數學原理》一書，建立了牛頓運動定律，為后面的波動方程的建立提供了動力學基礎。在壓電彈性波理論構建中，將牛頓運動方程和麥克斯韋方程通過壓電本構方程進行耦合，形成了壓電聲學領域著名的耦合波動方程(彈性波的數學描述，可求解得到精確的彈性波解)。

圖5 (a) 艾薩克·牛頓       圖5 (b)《自然哲學的數學原理》封面

2．理論奠定期：數學框架的建立

公元18世紀、19世紀上半葉，這一時期是彈性波理論數學框架建立的時期。從人類科學史發展的角度來看，任何自然科學的發展都離不開數學理論的支撐。

18世紀主要是圍繞“彈性模量”這一概念展開的。這其中做出貢獻的科學家主要有雅各布·伯努利(Jacob Bernoulli)、歐拉(Leonhard Euler)、Giordano Riccati等等，但都沒有明確彈性模量的概念，只是把它視為材料彈性性能的參數。

時間來到1807年，英國物理學家托馬斯.楊（Thomas Young, 1773-1829）發表了“A Course of Lectures on Natural Philosophy and the Mechanical Arts”文章，明確提出了“彈性模量”(the modulus of the elastic) 這一概念，他在文中寫道：

we may express the elasticity of any substance by the weight of a certaincolumn of the same substance, which may be denominated the modulus of itselasticity, and of which the weight is such, that any addition to it wouldincrease it in the same proportion as the weight added would shorten, by itspressure, a portion of the substance of equal diameter.

后來人們為紀念他的貢獻，將“彈性模量”命名為“楊氏模量”。

1821年，法國力學家納維(Claude-Louis-Marie-Henri Navier，1785-1836)首次推導了彈性體平衡與運動的一般方程，這對對彈性波理論的發展奠定了基礎。

在納維研究的基礎上，法國物理學家奧古斯丁·路易斯·柯西(Augustin Louis Cauchy，1789.8.21-1857.5.23) 在1822-1828年期間發表了一系列論文，明確地提出了應變、應變分量、應力和應力分量的概念，建立了彈性力學的幾何方程、平衡方程、各向同性以及各向異性材料的廣義胡克定律。

至此，將幾何方程(應變-位移關系)、本構方程(應力-應變關系，虎克定律)、動力學方程(牛頓運動定律)聯合起來即可建立彈性波的波動方程?，彈性波理論的數學模型正式建立了。

1829年，法國物理學家西莫恩·德尼·泊松(Simeon-Denis Poisson 1781-1840)從柯西方程出發，研究彈性介質中波的傳播時，發現了縱波和橫波兩種類型。1833年他又發現了材料變形中的泊松效應，并給出了泊松比這一與“楊氏模量”齊名的彈性材料常數。

1845年，物理學家喬治·斯托克斯(George Stokes，1819-1903)通過數學推導證明了縱波是脹縮波，橫波則被證明為畸變波，完善了彈性波的分類體系。并于1849年進一步驗證了橫波的畸變特性。

圖6 (a) 托馬斯·楊        圖6 (b)納維           圖6 (c)柯西

       
圖6 (d)泊松          圖6 (e)斯托克斯

這里還要重點介紹一位數學家的貢獻：1869年，瑞士數學家埃爾溫·布魯諾·克里斯托費爾(Elwin Bruno Christoffel，1829-1900，他在數學上的研究課題涉及數值分析、函數論、位勢理論、微分方程、微分幾何學、不變式理論等許多方面。他在微分幾何學中引入了協變微分法及第一類和第二類克里斯托費爾符號，這些工作成為后來張量分析的基礎)在彈性波理論中很重要的Christoffel方程，它是波動方程的一種形式，可以用于計算速度或慢度面(方程的具體形式涉及線性動量守恒方程和胡克定律，通過這些方程可以推導出固體中的聲波相速度)?。

我們知道經典彈性動力學屬于幾何表象理論，其基本方程由彈性體運動方程、幾何方程和本構關系組成。在彈性極限內，固體受外力作用下應力 T 與應變 S 成線性正比例關系(即胡克定律)，晶體都具有彈性的性質決定晶體中某一部分受到任何一種機械擾動時，擾動就會隨晶格傳播開而形成彈性波。但是根據形成的彈性波在晶體中傳播有一些特殊的性質，這些特殊性主要與晶體的對稱性和各向異性有密切關系。在晶體中取一個晶胞，忽略其他效應作用，只考慮純的彈性應力，根據 Newton 第二運動定律可得到彈性體運動方程，結合各向異性本構關系和幾何方程可以得到由位移表示的各向異性波動方程：

這是一個無法解耦的復雜偏微分方程，無法得到各向異性彈性波的傳播特性，將其與機械平面簡諧波的形式結合便可轉化得到Christoffel方程：

從而可以解析各向異性介質中彈性波的傳播特性，作為經典彈性波理論，此方程也存在一定的局限性，它只能求解特定方向上的彈性波的傳播，不能從全面上呈現彈性波的傳播特性。(由于篇幅有限，對于Christoffel方程的改進此處不再詳細介紹，感興趣的讀者可以閱讀參考文獻)

圖7 (a) Christoffel     圖7 (b) Christoffel方程的矩陣形式     圖7 (c)慢度曲線

至此，進入到19世紀中葉，彈性波理論已趨于成熟！

3．彈性波與壓電效應結合期：機電耦合之舞，波動工程之光

這個階段可以分為兩條主線：彈性波理論的進一步完善、壓電理論及壓電體中彈性波的發展。

本文中要介紹的壓電聲學器件領域我們經常見識到的各種聲波模式，它們最早基本都源于地震波的研究。所以，下面我們將利用一點篇幅簡單介紹下地震波的發現與類型。

1755年，葡萄牙首都里斯本發生了人類歷史上破壞力最大、遇難人數最多的地震。同年，英國地質學家和天文學家約翰·米歇爾開始調查里斯本地震的原因。1760年，他得出結論，“地下火山”是地震的罪魁禍首，并且首次提出地震是以波的形式傳遞的，還把地震波分為了兩類：迅速的震顫和緊跟其后的地面波狀起伏，并初步認識到不同地震波的走時特征，特別是P波(縱波)和S波(橫波)的速度差。

如圖8所示，將地震波進行解析：地震波可以分解為三個分量，分別為東西水平分量、南北水平分量、垂直分量，每個分量中從震源中心到地面可以解析出不同速度的地震波模式，速度由大到小依次是P波→S波→表面波，其中P波和S波屬于體波，表面波是由P波與S波在地表相遇后激發產生的次生波，包括Rayleigh波和Love波(將在后文詳細介紹)，所以在地面上的人們將最先感受到P波，最晚感受到表面波(傷害最大的波也是表面波?)。

    
圖8 (a)地震波的不同模式     圖8 (b)地震波的表示法

接下來，英國全能物理學家約翰·威廉·斯特拉特(John William Strutt，1842-1919。這個名字大家應該很陌生，但說出另外一個稱呼大家就會很熟悉，他就是大名鼎鼎的瑞利勛爵，他的爵位是繼承的他爺爺和父親的瑞利男爵，即瑞利男爵三世(Third Baron Rayleigh)，1904年，他因研究氣體密度并從中發現氬而被授予諾貝爾物理學獎)要登場了。1885年，瑞利勛爵在《倫敦數學學會會報》上發表了一篇名為“On waves propagated along the plane surface of an elastic solid ”的文章，他從數學上提出：“波在無限均勻各向同性彈性固體自由上表面上的傳播行為，其性質在于這種擾動局限于一個厚度與波長相當的表面區域，類似于深水波的變化，只是它的勢能取決于彈性回能(elastic resilience)而非重力”，人們為了紀念瑞利勛爵的貢獻將這種波命名為“瑞利波”。后來在地震波的觀測中證實了這種波的真實存在性，這就是最早的聲表面波的概念，人們一度將聲表面波稱作瑞利波，直到后面的物理學家發現了其他形式的聲表面波。

比聲表面波的發現早5年，居里兄弟發現了壓電效應(后文會詳細介紹)，兩者相結合產生出了壓電聲學器件分支(這可以說是歷史上極其美妙的安排)。所以，瑞利勛爵可算作是壓電聲學器件領域(特別是聲表面波器件領域)從業者的“祖師爺”。

隨后，其他類型的彈性波模式依次被發現，比如Love波、Lamb波、Stoneley波、Sezawa波等等。

圖9 (a) 瑞利勛爵       圖9 (b)最早提出聲表面波概念的論文

同樣地，還有一種被大家所熟知的最早在地震波觀測中被證實的彈性波---勒夫波(Love wave)。Love 波是以英國地球物理學家和數學家奧古斯塔斯·愛德華·霍夫·勒夫(Augustus Edward Hough Love，1863~1940)的名字命名的 (以吾之身，冠之汝名，表面波家族的命名也是具有科學浪漫主義色彩的)，他的研究方向主要致力于彈性力學的數學理論。1911年，Love在他的著作《Some Problems of Geodynamics》中闡述了這種表面波的理論，通過構建數學模型首次給出了Love波在數學上的解釋，此項工作為他贏得了1911年的亞當斯獎(Adams Prize)。

Love波與Rayleigh波這對“雙生姊妹”演繹著截然不同的運動美學：Love波是一種垂直于傳播方向且在水平面內振動的波(屬于SH型剪切波，詳細的特征將在后文為大家介紹)。

圖10 (a) A. E. H. Love               圖10 (b)《Some Problems of Geodynamics》封面

1917年，英國應用數學家賀拉斯·蘭姆爵士(Horace Lamb，1849-1934，他在流體動力學方面做出了巨大的貢獻)在研究無限大板中的正弦波時發現了一種在薄板或薄膜中傳播的表面波，其特點是沿著結構的表面和厚度方向傳播，因此得名為蘭姆波(Lamb波)，后來有人也將其稱為板波。H.蘭姆基于彈性力學的拉梅解建立了lamb波的數學模型：將波動方程分別用P波和S波的位移勢表示，求解波動方程得到Lamb波的一般解。

1924年，英國物理學家羅伯特·斯通利(Robert Stoneley，1894-1976)在研究兩種完好連接的各項同性均勻半無限介質交界面上傳播的波時，發現了一種波速與兩個介質的性質相關的類瑞利波的波模態(“變態”瑞利波)。這種波的存在與介質的彈性拉梅常數和介質密度有關(需要滿足一定條件的情況)，人們將這種波稱為斯通利波。

注：Lamé常數，將線彈性（或固體可變形）各向同性體的某一點的彈性應力分量與此時的變形分量連接起來的量：

圖11 (a)Horace Lamb           圖11 (b) Robert Stoneley

時間來到20世紀50年代以后，科學家進一步發展了彈性繞射理論，非線性彈性波理論等等。

前面簡要介紹了彈性波理論的發展歷程，而與本文主要介紹的彈性波與壓電性介質相結合而開啟的新領域--壓電聲學器件，還需要一點篇幅來回顧下這一美妙的結合。

首先，我們要明確一個重要的概念—壓電效應(piezoelectric effect)，其由雅克?居里(Jacques Curie，1856-1941)和皮埃爾?居里(Pierre Curie，1859-1906，大名鼎鼎的瑪麗·居里的丈夫，居里夫婦和貝克勒爾于1903年因對放射性的研究而獲得諾貝爾物理學獎，皮埃爾?居里在獲獎兩年多后的一次馬車車禍中遇難) 于1880年在單晶石英中發現了直接壓電效應(正壓電效應)，即：石英晶體在壓力作用下，在它的某些表面上產生了電荷積累和電位差。并且對石英晶體中的壓電效應進行了精確測量。1881年他們又證實了李普曼(G. Lippmann，就是那個因發明制作彩色玻璃照相技術獲得諾貝爾物理學獎的大佬)提出的逆壓電效應的預言：電場引起壓電晶體產生微小的收縮(應變)。這一重要發現其意義在于：揭示了機械能與電能的可逆轉換，但此時尚未建立數學描述。

注：piezoelectric 一詞中“piezo”這個詞根在希臘語中是“壓力”的意思，加上“electric”，意為電，組合起來就是壓力產生電的意思。

圖12 (a) 居里兄弟                      圖12 (b) 正/逆壓電效應

1910年，德國物理學家沃德馬·沃伊特(Woldemar Voigt，1850-1919)出版了晶體物理學領域的權威性著作---《晶體物理學教本》(德語：Lehrbuch der  Kristallphysik)，書中首次提出了20種具有壓電性質的天然晶體(晶體是否具有壓電性與晶體結構的對稱性有關，只有具有不對稱中心的晶體才有可能具有壓電特性)。尤其重要的是，他還嚴格定義了18種固態晶體可能的宏觀壓電系數，并對壓電系數和模量進行了系統的物理解釋，為后來的壓電理論基本方程的發展奠定了基礎。

Woldemar Voigt還有一個重要的貢獻：我們常見的張量的表示方法----Voigt 符號，就是以他的名字命名的，是對稱張量的縮寫符號(基于張量的索引表示法，將兩個索引按照特定的規則“組合”成一個索引)，大家都共識性地將壓電材料的材料常數張量采用Voigt 符號進行表示。

圖13 (a) Woldemar Voigt   圖13 (b)《晶體物理學教程》封面      圖13 (c)壓電本構方程

后來的科學家們將應力、應變與電場、電位移通過張量形式進行關聯，提出了正/逆壓電效應的數學表達—壓電本構方程，壓電本構方程是研究和解析壓電性介質中彈性波傳播的最基礎的數學理論，通過設定不同的邊界條件，壓電本構方程可以擴展為四類方程形式，具體的形式和應用場景本文將不再展開。

1917年，法國物理學家保羅·朗之萬(Paul Langevin，1872 -1946，就是那個跟居里夫人有過緋聞的朗之萬)利用石英壓電效應激發高頻超聲波(縱波)，制造出了可用于潛水艇上的超音波傳感器(聲吶)，首次實現了壓電體中彈性波的工程應用。

圖14 (a) Paul Langevin     圖14 (b)聲吶裝置

1950年左右，美國力學家雷蒙德·大衛·明德林(Raymond David Mindlin，1906-1987)在Kirchhoff-Love板理論的基礎上進行擴展形成了Mindlin板理論，考慮了板厚度方向的剪切變形。他還提出了應變梯度彈性理論，引入高階應變項來解釋微納尺度下的尺寸效應，為壓電薄膜和納米結構中的彈性波傳播提供了理論框架。

1965年，RM White和FW Voltmer兩人發明了插指換能器(IDT)結構，在石英晶體上利用IDT結構成功激發并檢測到了瑞利型聲表面波，開啟了SAW器件應用的時代。注：我們前幾期的文章有相關介紹，此處不再詳細描述。

1968年，布勒斯坦(J.L. Bleustein)與古利亞耶夫(Yu.V. Gulyaev)預言了在壓電晶體表面存在一種橫電偏振(SH波)聲表面，即波Bleustein-Gulyaev波，拓展了瑞利波理論，成為聲表面波器件的理論基礎。

從此便開啟了壓電物理學研究的時代。

4．現代發展期：聲學器件革命，跨學科融合．現代發展期：聲學器

(1). 應用爆發期

進入20世紀70年代，從電視中頻開始，開發并生產了大量的各種濾波器和諧 振器。20世紀80年代后期，移動通信市場的飛速發展聲表面波器件快速發展，NSAW濾波器、TCSAW濾波器、SAW傳感器、卷積器、延遲線、MEMS聲學器件等呈井噴式出現。到了21世紀，則進入了更塊的發展道路。4G/5G通信技術的發展，壓電聲學濾波器成為了主流的濾波器類型，應用頻率不斷向上拓展，性能上限不斷被突破。壓電材料不斷突破，各種性能優異的壓電材料體系被提出。

(2). 計算技術發展

現代計算技術賦能壓電聲學領域。比如：等效電路模型(BVD)、δ函數模型、交叉場模型、脈沖響應模型、格林函數模型、變分理論模型、P矩征法、耦合模型(COM)、有效介電常數法，散射矩陣法，微擾理論法等等計算方法出現，幫助研究者和工程人員快速計算壓電體中彈性波的傳播特性。

人們也將有限元方法引入到壓電體彈性波的模擬計算當中，如FEMBEM方法、COMSOL多物理場仿真方法、級聯有限元方法(HCT)等等。 

歷史總結：波動之鏈，文明之脈

彈性波理論的發展史，是一部人類如何通過抽象數學理解自然、進而改造世界的史詩。從張衡地動儀的青銅龍珠到5G手機中的SAW濾波器，從地震預警系統的秒級響應到量子計算機的聲子芯片，彈性波科學始終在基礎研究與工程應用的雙螺旋中不斷進化。在19世紀末的那個節點，美妙的歷史安排讓壓電效應與彈性波理論相遇，從而碰撞出了一部機電耦合機制與波動工程相互成就的史詩。這部宏大的歷史還在不斷地被書寫：壓電彈性波理論正在不斷突破物理極限，重塑技術邊界，可能在不久的未來，憑借人工智能技術的賦能，這一領域或將催生更智能、更高效的波動信息技術，繼續引領人類感知與操控這大千世界。